Probabilités, statistiques et propagation des incertitudes
Ce cours développe une compétence qui manquait encore au tronc commun. Il part des concepts, donne les unités et les calculs nécessaires, puis relie chaque méthode à des décisions d’ingénierie réelles pour Mars.
Objectifs de maîtrise
- expliquer les grandeurs, unités et hypothèses
- refaire au moins un calcul à la main
- identifier incertitudes, limites et modes de panne
- transformer le résultat en décision pour une architecture Mars
1. Pourquoi une mission spatiale raisonne en distributions
Une valeur unique masque souvent le risque. Masse, poussée, densité atmosphérique, erreur de navigation ou durée de vie possèdent une dispersion. On distingue une valeur moyenne, un écart-type et parfois une distribution complète. Une architecture robuste ne demande pas seulement « quelle est la valeur attendue ? », mais « quelle plage de résultats reste compatible avec la mission ? ».
Si une masse est estimée à 100 kg avec une incertitude-type de 3 kg, écrire 100,000 kg serait une fausse précision. L’incertitude décrit la qualité de la connaissance, pas la résolution de l’écran.
Réflexe d’ingénierie. Identifier ce qui est mesuré, ce qui est supposé, ce qui est calculé et ce qui ferait changer la décision.
2. Moyenne, variance et écart-type
Pour des mesures xᵢ, la moyenne arithmétique est x̄ = (Σxᵢ)/n. La variance mesure la dispersion autour de cette moyenne ; l’écart-type σ est la racine carrée de la variance et s’exprime dans la même unité que la grandeur.
Exemple : cinq mesures de débit valent 9,8 ; 10,1 ; 10,0 ; 10,2 ; 9,9 g/s. La moyenne vaut 10,0 g/s. L’écart autour de cette moyenne est faible ; annoncer « environ 10 g/s » décrit mieux la réalité que sélectionner la mesure 10,2 comme représentative.
3. Propager une incertitude
Lorsqu’une sortie y dépend de plusieurs entrées, l’incertitude finale dépend de la sensibilité de y à chacune d’elles. Pour y = a×b, une première approximation consiste à combiner les incertitudes relatives lorsque les variables sont indépendantes. Les corrélations changent le résultat : deux erreurs liées ne peuvent pas être additionnées comme si elles étaient indépendantes.
Cette distinction est cruciale pour Mars. Deux capteurs provenant de la même calibration peuvent partager le même biais. Les compter comme deux confirmations indépendantes donnerait une confiance artificielle.
4. Monte-Carlo : simuler des milliers de missions possibles
Une simulation Monte-Carlo tire de nombreuses valeurs d’entrée selon leurs distributions, calcule la sortie à chaque tirage puis observe la distribution des résultats. Elle n’efface pas l’incertitude ; elle la rend visible.
Si un atterrisseur possède cinq paramètres incertains, un calcul nominal n’explore qu’un point. Dix mille tirages permettent d’estimer la fréquence des cas qui dépassent une limite thermique, une réserve de propergol ou une dispersion de site.
5. Probabilité conditionnelle et diagnostic
Un signal n’a pas la même signification avant et après une observation. La probabilité conditionnelle formalise cette mise à jour. En diagnostic de panne, une alarme peut être fréquente mais peu spécifique ; un deuxième indicateur indépendant peut fortement changer la probabilité qu’un défaut soit réel.
Le raisonnement bayésien ne remplace pas les essais. Il aide à hiérarchiser des hypothèses lorsque l’information est incomplète, situation normale pendant une anomalie lointaine de plusieurs minutes-lumière de la Terre.
6. Distribution, queue de risque et événement rare
Une moyenne ne décrit pas seule un risque de mission. Deux distributions peuvent avoir la même moyenne et des probabilités très différentes d'atteindre une zone dangereuse. Pour une variable gaussienne, l'écart-type décrit la dispersion autour de la moyenne ; pour une panne ou une tempête, une distribution asymétrique ou à queue lourde peut être plus pertinente. L'ingénieur doit donc demander quelle partie de la distribution pilote la décision : comportement nominal, percentile 95 %, pire cas crédible ou probabilité d'un seuil dépassé.
7. Mettre à jour une probabilité quand une nouvelle information arrive
La décision martienne est séquentielle. Avant un essai, une équipe possède une estimation de fiabilité ; après chaque résultat, elle doit la mettre à jour. Le raisonnement bayésien formalise cette idée : une croyance initiale, appelée a priori, est combinée avec la vraisemblance des nouvelles données pour produire une distribution a posteriori. Il évite deux erreurs symétriques : considérer qu'un essai réussi prouve la perfection ou, au contraire, ignorer des dizaines d'essais parce que le modèle initial semblait convaincant.
8. Monte-Carlo utile : simuler une décision, pas fabriquer un nuage de nombres
Une simulation Monte-Carlo tire de nombreuses combinaisons de paramètres à partir de distributions définies. Son intérêt apparaît lorsque plusieurs incertitudes non linéaires interagissent : masse, rendement, durée, température, disponibilité ou consommation. Mais le résultat n'est crédible que si les distributions d'entrée sont justifiées et si les corrélations importantes sont conservées. Une simulation de 100 000 cas avec de mauvaises hypothèses produit seulement une erreur très précise. Le bon livrable montre donc les hypothèses, la sensibilité et la fraction de cas qui violent un critère de mission.
Cas de décision : une moyenne peut cacher une queue dangereuse
Supposons qu’un atterrisseur possède une marge de carburant moyenne confortable, mais qu’une petite fraction des simulations termine près de la réserve minimale. La moyenne seule paraît rassurante. L’ingénieur examine donc percentiles et cas de queue : si 1 % des trajectoires consomment presque toute la réserve, la décision dépend de la gravité de ce 1 %, de la crédibilité des distributions d’entrée et de la possibilité d’ajouter une règle de déroutement. Une distribution ne sert pas à décorer un rapport ; elle doit conduire à une décision de conception ou d’exploitation.
9. Exemple calculé pas à pas
Une chaîne critique comporte 8 éléments indépendants en série, chacun ayant une probabilité de réussite de 0,995 pendant la phase considérée. La probabilité que les huit réussissent vaut 0,995^8 ≈ 0,9607, soit environ 96,1 %. La probabilité d'au moins une défaillance est donc 1 − 0,9607 = 0,0393, soit 3,93 %. Si l'objectif système exige au moins 99 % de réussite, améliorer légèrement chaque composant ne suffit peut-être pas : il faut identifier les fonctions pouvant être redondées ou tolérer une panne. Ce calcul montre pourquoi une longue chaîne série dégrade rapidement la fiabilité globale.
10. Exercice progressif
Un sous-système comporte 5 fonctions série à 0,998 de fiabilité chacune et une fonction redondée constituée de deux voies indépendantes à 0,97. Calculez la fiabilité de la fonction redondée, puis celle de la chaîne entière. Refaire le calcul si les deux voies redondantes partagent une cause commune donnant 2 % de probabilité de les rendre simultanément indisponibles.
11. Solution raisonnée
La fonction redondée de deux voies indépendantes à 0,97 réussit avec 1 − (1 − 0,97)² = 0,9991. Les cinq fonctions série donnent 0,998⁵ ≈ 0,9900. La chaîne complète vaut donc environ 0,9891 avant prise en compte d’une cause commune. Une cause commune de 2 % interdit de créditer la redondance comme parfaitement indépendante et fait baisser davantage la fiabilité réelle.
12. Mini-projet de validation
Construire un modèle probabiliste d'une journée d'opérations martiennes avec au moins cinq événements incertains, deux corrélations et un critère d'échec explicite. Comparer scénario nominal, percentile 95 % et Monte-Carlo ; expliquer quelle incertitude mérite en priorité une campagne d'essais.