Probabilités, statistiques et propagation des incertitudes

Objectifs de maîtrise

• Lire « probabilité » comme un problème concret de « Probabilités, statistiques et propagation des incertitudes » et non comme une définition à réciter.
• Contrôler un résultat chiffré lié à « probabilité » par une seconde méthode simple.
• Dire quelle donnée supplémentaire manque avant de trancher sur « moyenne ».
• Choisir une réponse opérationnelle cohérente avec « écart-type » et ses marges.

1. Pourquoi une mission spatiale raisonne en distributions

Une valeur unique masque souvent le risque. Masse, poussée, densité atmosphérique, erreur de navigation ou durée de vie possèdent une dispersion. On distingue une valeur moyenne, un écart-type et parfois une distribution complète. Une architecture robuste ne demande pas seulement « quelle est la valeur attendue? », mais « quelle plage de résultats reste compatible avec la mission? ».

Si une masse est estimée à 100 kg avec une incertitude-type de 3 kg, écrire 100,000 kg serait une fausse précision. L’incertitude décrit la qualité de la connaissance, pas la résolution de l’écran.

2. Moyenne, variance et écart-type

Pour des mesures xᵢ, la moyenne arithmétique est x̄ = (Σxᵢ)/n. La variance mesure la dispersion autour de cette moyenne; l’écart-type σ est la racine carrée de la variance et s’exprime dans la même unité que la grandeur.

Exemple: cinq mesures de débit valent 9,8; 10,1; 10,0; 10,2; 9,9 g/s. La moyenne vaut 10,0 g/s. L’écart autour de cette moyenne est faible; annoncer « environ 10 g/s » décrit mieux la réalité que sélectionner la mesure 10,2 comme représentative.

3. Propager une incertitude

Lorsqu’une sortie y dépend de plusieurs entrées, l’incertitude finale dépend de la sensibilité de y à chacune d’elles. Pour y = a×b, une première approximation consiste à combiner les incertitudes relatives lorsque les variables sont indépendantes. Les corrélations changent le résultat: deux erreurs liées ne peuvent pas être additionnées comme si elles étaient indépendantes.

Cette distinction est cruciale pour Mars. Deux capteurs provenant de la même calibration peuvent partager le même biais. Les compter comme deux confirmations indépendantes donnerait une confiance artificielle.

4. Monte-Carlo: simuler des milliers de missions possibles

Une simulation Monte-Carlo tire de nombreuses valeurs d’entrée selon leurs distributions, calcule la sortie à chaque tirage puis observe la distribution des résultats. Elle n’efface pas l’incertitude; elle la rend visible.

Si un atterrisseur possède cinq paramètres incertains, un calcul nominal n’explore qu’un point. Dix mille tirages permettent d’estimer la fréquence des cas qui dépassent une limite thermique, une réserve de propergol ou une dispersion de site.

5. Probabilité conditionnelle et diagnostic

Un signal n’a pas la même signification avant et après une observation. La probabilité conditionnelle formalise cette mise à jour. En diagnostic de panne, une alarme peut être fréquente mais peu spécifique; un deuxième indicateur indépendant peut fortement changer la probabilité qu’un défaut soit réel.

Le raisonnement bayésien ne remplace pas les essais. Il aide à hiérarchiser des hypothèses lorsque l’information est incomplète, situation normale pendant une anomalie lointaine de plusieurs minutes-lumière de la Terre.

Cas de décision: une moyenne peut cacher une queue dangereuse

Supposons qu’un atterrisseur possède une marge de carburant moyenne confortable, mais qu’une petite fraction des simulations termine près de la réserve minimale. La moyenne seule paraît rassurante. L’ingénieur examine donc percentiles et cas de queue: si 1 % des trajectoires consomment presque toute la réserve, la décision dépend de la gravité de ce 1 %, de la crédibilité des distributions d’entrée et de la possibilité d’ajouter une règle de déroutement. Une distribution ne sert pas à décorer un rapport; elle doit conduire à une décision de conception ou d’exploitation.

9. Exemple calculé pas à pas

Une chaîne critique comporte 8 éléments indépendants en série, chacun ayant une probabilité de réussite de 0,995 pendant la phase considérée. La probabilité que les huit réussissent vaut 0,995^8 ≈ 0,9607, soit environ 96,1 %. La probabilité d'au moins une défaillance est donc 1 − 0,9607 = 0,0393, soit 3,93 %. Si l'objectif système exige au moins 99 % de réussite, améliorer légèrement chaque composant ne suffit peut-être pas: il faut identifier les fonctions pouvant être redondées ou tolérer une panne. Ce calcul montre pourquoi une longue chaîne série dégrade rapidement la fiabilité globale.

10. Exercice progressif

Un sous-système comporte 5 fonctions série à 0,998 de fiabilité chacune et une fonction redondée constituée de deux voies indépendantes à 0,97. Calculez la fiabilité de la fonction redondée, puis celle de la chaîne entière. Refaire le calcul si les deux voies redondantes partagent une cause commune donnant 2 % de probabilité des rendre simultanément indisponibles.

11. Solution raisonnée

La fonction redondée de deux voies indépendantes à 0,97 réussit avec 1 − (1 − 0,97)² = 0,9991. Les cinq fonctions série donnent 0,998⁵ ≈ 0,9900. La chaîne complète vaut donc environ 0,9891 avant prise en compte d’une cause commune. Une cause commune de 2 % interdit de créditer la redondance comme parfaitement indépendante et fait baisser davantage la fiabilité réelle.

12. Mini-projet de validation

Construire un modèle probabiliste d'une journée d'opérations martiennes avec au moins cinq événements incertains, deux corrélations et un critère d'échec explicite. Comparer scénario nominal, percentile 95 % et Monte-Carlo; expliquer quelle incertitude mérite en priorité une campagne d'essais.

Sources primaires et passerelles

• NASA Systems Engineering Handbook
• NASA Risk Management Handbook

Repères lexicaux du module. état dégradé