Mathématiques utiles : des proportions aux dérivées
Les mathématiques d’ingénierie transforment une question verbale en relations contrôlables. Le but n’est pas de mémoriser un catalogue de symboles, mais de savoir construire un modèle et vérifier ce qu’il suppose.
Chaque exemple martien est volontairement simplifié et identifié comme tel. Une valeur calculée dans un exercice n’acquiert pas le statut d’exigence de mission.
1. Algèbre : isoler l’inconnue sans perdre la physique
Une équation affirme que deux expressions décrivent la même quantité. Si E = P t et que l’on cherche t, on divise les deux côtés par P : t = E/P. Nommer les symboles avant la manipulation est essentiel : E est une énergie, P une puissance et t une durée. Les unités kWh/kW donnent bien des heures.
Exercice 1
Une batterie dispose de 180 kWh utilisables et alimente 12 kW constants. Durée idéale ?
Correction : t = 180/12 = 15 h. Le résultat ne contient ni rendement, ni réserve, ni vieillissement.
Quinze heures est une durée idéale obtenue en divisant une énergie disponible par une puissance constante. Un système réel retire ensuite réserve, rendement de conversion, vieillissement et puissance des auxiliaires avant de promettre une autonomie opérationnelle.
Pourquoi cette idée compte
L’algèbre d’ingénierie consiste à isoler l’inconnue tout en gardant la signification physique visible. Chaque transformation doit être réversible et les unités doivent suivre les symboles.
Si E=P t, alors t=E/P. Une batterie offrant 90 kWh utiles et une charge constante de 6 kW donne 15 h idéales.
La durée réelle peut être plus faible si la puissance varie, si une réserve minimale est imposée ou si la capacité dépend de la température.
2. Proportions : vérifier la linéarité avant la règle de trois
Une règle de trois suppose qu’un doublement de l’entrée double la sortie. Cette hypothèse convient parfois à un stock alimentaire de premier ordre, beaucoup moins à un hôpital, une centrale ou un atelier qui possèdent des coûts fixes et des seuils de redondance.
Avant d’extrapoler de 4 à 100 personnes, demandez quelle partie du système est proportionnelle à la population et quelle partie change par paliers. Une pompe de secours, un sas ou un laboratoire ne se multiplie pas nécessairement par le même facteur que la nourriture.
Lecture physique
La proportion est puissante seulement quand la relation est linéaire. Doubler la population double approximativement certains flux consommables, mais doubler une dimension géométrique ne double pas un volume.
À 0,4 kg/j d’appoint par personne, 20 personnes demandent 8 kg/j et 100 personnes 40 kg/j. En revanche, doubler le rayon d’un réservoir cylindrique quadruple sa section. Le résultat doit ensuite être confronté aux hypothèses qui l'ont produit.
Une règle de trois appliquée à un système saturé, à une surface ou à une redondance donne souvent une extrapolation trompeuse.
3. Géométrie : surfaces, volumes et lois d’échelle
Le disque a pour aire A = πr² et le cylindre pour volume V = πr²h. Doubler un rayon quadruple une section ; doubler toutes les dimensions d’un objet multiplie son volume par huit. C’est pourquoi une intuition linéaire échoue vite sur les réservoirs et habitats.
Exercice 3
Réservoir cylindrique : r = 1,2 m, h = 3,0 m. Volume géométrique ?
Correction : π × 1,2² × 3 ≈ 13,57 m³. Le volume utile sera inférieur après structure, équipements et ullage.
Le calcul géométrique fournit seulement l’enveloppe. Un réservoir réel perd une partie du volume au profit des parois, structures internes, capteurs, espace gazeux et marges de fonctionnement ; cette différence doit être inscrite avant tout bilan de stock.
Étude de cas — pourquoi le volume change plus vite que la longueur
Considérez un réservoir cylindrique de rayon 1,5 m et de hauteur 4 m. Son volume vaut πr²h ≈ 28,27 m³. Si toutes les dimensions linéaires sont multipliées par deux, le rayon devient 3 m et la hauteur 8 m : le volume devient environ 226,2 m³, soit huit fois plus. La surface externe, elle, n’est multipliée que par quatre. Cette différence explique pourquoi les changements d’échelle modifient les bilans de structure, d’isolation et de stockage.
Inversement, doubler simplement la hauteur sans changer le rayon double le volume. Le mot « deux fois plus grand » est donc trop vague pour un calcul. Il faut préciser quelle dimension varie. Sur Mars, cela affecte la masse de parois, la surface à chauffer, les volumes pressurisés et les temps de transfert. La géométrie n’est pas une décoration du problème : elle détermine quelles grandeurs croissent comme L, L² ou L³.
Passage au calcul
La géométrie devient une question de ressources dès qu’un habitat doit être pressurisé, chauffé, blindé ou fabriqué. Volume habitable, surface de paroi et masse de protection n’évoluent pas de la même façon.
Un cylindre de rayon 3 m et longueur 8 m offre V≈π×9×8≈226 m³ hors aménagements. Une couche uniforme de régolithe de 2 m sur une surface externe de 100 m² représente 200 m³ de matériau avant porosité. L’intérêt pédagogique est de voir les unités se transformer en décision.
Une forme géométriquement efficace peut être difficile à construire, inspecter ou réparer ; l’optimum mathématique n’est pas automatiquement l’optimum industriel.
4. Trigonométrie : transformer un angle en composantes
Pour un vecteur V incliné d’un angle θ au-dessus de l’horizontale, Vx = V cosθ et Vy = V sinθ. Cette décomposition sert pour une pente, un bras robotique, une poussée inclinée ou une ligne de visée.
La calculatrice doit être dans le bon mode. 30 degrés ne vaut pas 30 radians. Un contrôle graphique simple — les deux composantes doivent être inférieures à la norme — permet déjà de détecter une erreur.
Exercice 4
V = 10 m/s à 30°. Donnez Vx et Vy.
Correction : Vx ≈ 8,66 m/s et Vy = 5,00 m/s.
Point de contrôle
La trigonométrie transforme angle et longueur en composantes mesurables. Sur un terrain martien, elle intervient dans les pentes, les vecteurs de visée, les antennes, les forces et les trajectoires locales.
Une pente de 10° sur 100 m de distance horizontale correspond à environ 17,6 m de dénivelé puisque tan(10°)≈0,176. Un ingénieur garde séparés résultat numérique, marge et domaine de validité.
Il faut vérifier si la distance donnée est horizontale, le long de la pente ou une portée oblique : le même angle ne conduit pas à la même équation.
5. Vecteurs : une direction fait partie de la donnée
Une masse est scalaire. Une force, une vitesse ou une accélération est vectorielle. Deux vitesses de 5 m/s, l’une vers l’est et l’autre vers le nord, donnent une norme résultante √(5²+5²) ≈ 7,07 m/s, et non 10 m/s.
Le même outil sert à additionner des erreurs de pointage ou des forces. Choisir des axes clairs réduit un problème spatial à plusieurs problèmes scalaires puis permet de reconstruire la direction finale.
Étude de cas — additionner des déplacements, pas seulement des distances
Un rover se déplace 8 km vers l’est puis 6 km vers le nord. La distance parcourue est 14 km, mais le déplacement entre le départ et l’arrivée vaut √(8²+6²)=10 km. Son angle par rapport à l’est vaut arctan(6/8)≈36,9°. Cette distinction simple devient indispensable dès que l’on parle de navigation, de vitesse vectorielle ou de vent relatif.
Si le même rover doit revenir au point de départ, la quantité pertinente pour le retour direct est le vecteur opposé, pas la somme historique des distances. Si un danger impose de contourner un cratère, la distance réelle redevient supérieure à la norme du déplacement. Un modèle d’autonomie doit donc savoir s’il calcule une géométrie idéale, une route praticable ou une distance cumulée. Les mathématiques permettent de garder ces objets distincts au lieu de les confondre sous le mot « distance ».
Interprétation
Un vecteur possède une norme et une direction. Additionner des vitesses, forces ou déplacements comme de simples nombres ignore l’orientation et peut produire une décision de navigation fausse.
Un rover avance de 3 km vers l’est puis 4 km vers le nord : la distance parcourue est 7 km, mais le déplacement net vaut 5 km par Pythagore.
Le déplacement ne dit pas l’énergie consommée : le terrain, la pente et la vitesse peuvent rendre un trajet plus long énergétiquement même s’il est plus court géométriquement.
6. Fonctions et graphiques : voir les tendances
Une fonction associe une sortie à une entrée. Un graphique de puissance contre le temps révèle pics et cycles ; une concentration de CO₂ révèle dérive et délai de contrôle ; un rendement contre la charge révèle une zone d’exploitation préférée.
Toujours inspecter axes, unités, origine et échelle. Un axe tronqué exagère visuellement une variation. Un axe logarithmique encode des rapports. Le graphique est une représentation du modèle, pas une décoration.
Raisonnement de terrain
Une fonction relie une entrée à une sortie. Le graphique permet de voir seuils, saturation, dérives et zones où une approximation linéaire cesse d’être acceptable.
Si une batterie fournit 100 kWh utiles à 20 °C mais seulement 85 kWh dans un scénario froid, la capacité n’est pas une constante universelle ; elle dépend d’un état. Un modèle peut écrire E_utile=f(T,âge,puissance).
Tracer une droite entre deux points mesurés n’autorise pas à l’extrapoler indéfiniment hors du domaine observé.
7. Dérivée : suivre un taux de changement
Si x(t) est une position, dx/dt est une vitesse et d²x/dt² une accélération. Si M(t) est la masse d’un réservoir, dM/dt est le débit net. La dérivée demande « à quelle vitesse la grandeur change-t-elle ici ? ».
Sur des données discrètes, ΔM/Δt suffit comme pente moyenne. Cette pensée devient utile lorsqu’une fuite accélère, qu’une température dérive ou qu’un temps de réparation augmente plus vite que prévu.
Pourquoi cette idée compte
La dérivée mesure un taux de changement instantané. Elle permet de distinguer un stock encore acceptable mais qui se dégrade rapidement d’un stock faible mais stable.
Si un réservoir passe de 1 000 à 940 kg en 6 h, le taux moyen vaut −10 kg/h. Si ce rythme persiste, 240 kg seraient perdus en 24 h ; la pente signale le problème avant que le réservoir soit vide.
Une dérivée moyenne sur six heures peut masquer une fuite intermittente ; la résolution temporelle du capteur fait partie du modèle.
8. Intégrale : accumuler un débit ou une puissance
L’intégrale additionne une grandeur distribuée. L’énergie est l’intégrale de la puissance sur le temps ; la masse transférée est l’intégrale du débit massique. Avec des valeurs constantes, cela redevient simplement quantité = taux × durée.
Exercice 8
2 kW pendant 3 h puis 5 kW pendant 1 h : énergie ?
Correction : 2×3 + 5×1 = 11 kWh. C’est une intégration par paliers.
Étude de cas — intégrer une puissance variable
Une charge électrique n’est pas toujours constante. Supposons qu’un chauffage tire 1 kW pendant 2 h, 3 kW pendant 4 h puis 0,5 kW pendant 6 h. L’énergie est l’aire sous la courbe puissance-temps : 1×2 + 3×4 + 0,5×6 = 17 kWh. Lorsque les valeurs sont données par intervalles, cette somme est une intégration discrète.
Avec des mesures chaque minute, on peut sommer PᵢΔt. Avec une fonction continue P(t), on écrit E = ∫P(t)dt. La notation change, pas le sens physique : on accumule un débit d’énergie dans le temps. Cette idée apparaît aussi pour accumuler un débit d’eau, une production d’oxygène ou une dose. Avant d’intégrer, vérifiez les unités : kW × h donne kWh, kg/h × h donne kg. Une intégrale qui termine dans la mauvaise unité révèle un modèle mal posé.
Lecture physique
L’intégrale additionne une grandeur distribuée dans le temps ou l’espace. En exploitation, elle transforme puissance en énergie, débit en masse ou concentration inhalée en exposition cumulée selon le modèle choisi.
Une charge de 8 kW pendant 2 h puis 3 kW pendant 6 h consomme 16+18=34 kWh. Graphiquement, c’est l’aire sous la courbe P(t). Le résultat doit ensuite être confronté aux hypothèses qui l'ont produit.
Additionner des valeurs de puissance sans multiplier par leur durée n’a pas d’unité d’énergie et ne dimensionne aucune batterie.
9. Exponentielles et logarithmes : raisonner en rapports
Une exponentielle apparaît lorsque le taux d’évolution dépend de la quantité présente. Le logarithme est son opération inverse. Sans faire un cours complet de calcul analytique, il faut savoir reconnaître qu’une croissance exponentielle franchit rapidement plusieurs ordres de grandeur.
Les logarithmes sont aussi utiles pour représenter des grandeurs couvrant des échelles immenses. Une droite sur un axe log ne s’interprète pas comme une droite sur un axe linéaire ; l’échelle choisie fait partie de la lecture.
Passage au calcul
Les exponentielles décrivent des évolutions proportionnelles à l’état courant ; les logarithmes permettent d’inverser ces relations ou de comparer des ordres de grandeur. Ils apparaissent dans décroissance, cinétique, fiabilité et certains modèles thermiques ou biologiques.
Avec une dégradation idéale de 2 % par cycle, la fraction restante après 20 cycles est 0,98²⁰≈0,668. Ce n’est pas 60 % de perte par simple addition : la base diminue à chaque cycle. L’intérêt pédagogique est de voir les unités se transformer en décision.
Un modèle exponentiel doit être justifié par le mécanisme ; il ne suffit pas qu’une courbe ressemble visuellement à une exponentielle.
10. Incertitudes : pire cas et erreurs indépendantes
Dix interfaces chacune tolérées à ±0,1 mm peuvent donner ±1,0 mm en pire cas arithmétique si toutes les erreurs vont dans le même sens. Si les erreurs sont indépendantes et centrées, la racine de la somme des carrés donne √10 × 0,1 ≈ 0,316 mm.
Ces valeurs ne se contredisent pas : elles reposent sur des hypothèses différentes. Une erreur de calibration commune ne disparaît jamais grâce à une racine carrée. Le modèle d’erreur doit donc accompagner le résultat.
Étude de cas — incertitude et décision
Un assemblage comporte quatre dimensions mesurées avec des incertitudes indépendantes de ±0,20, ±0,10, ±0,15 et ±0,05 mm. Le pire cas arithmétique additionne les amplitudes : ±0,50 mm. Si les erreurs sont véritablement indépendantes, centrées et compatibles avec une combinaison quadratique, la racine de la somme des carrés vaut environ 0,274 mm. Ces deux nombres répondent à des modèles différents ; on ne choisit pas le plus petit parce qu’il est plus agréable.
Dans une chaîne de fabrication martienne, une erreur d’étalonnage commune peut rendre l’hypothèse d’indépendance fausse. Quatre instruments calibrés avec la même référence biaisée peuvent tous se tromper dans le même sens. L’incertitude doit donc accompagner l’architecture de mesure : références indépendantes, contrôles croisés et périodicité d’étalonnage. La formule n’efface jamais la structure réelle des erreurs.
Point de contrôle
Les incertitudes peuvent être combinées en pire cas ou, sous hypothèses d’indépendance, par une somme quadratique. Le choix dépend de la question de sûreté et de la nature des erreurs.
Dix interfaces à ±0,1 mm donnent ±1,0 mm en empilement arithmétique. Si les erreurs sont indépendantes, centrées et comparables, l’écart quadratique vaut √10×0,1≈0,316 mm. Un ingénieur garde séparés résultat numérique, marge et domaine de validité.
Un biais commun d’usinage n’est pas indépendant ; appliquer RSS à des erreurs corrélées sous-estime la dérive possible.
11. Optimisation : plusieurs objectifs se contredisent
Minimiser masse, puissance, coût, temps et risque tout en maximisant marge et réparabilité crée un problème multiobjectif. Il n’existe pas forcément une solution qui domine toutes les autres. Une comparaison transparente sépare contraintes obligatoires et préférences pondérées.
La sensibilité compte autant que le classement. Si une architecture gagne seulement lorsque le poids d’un critère vaut exactement 0,31, la décision est fragile. Tester plusieurs pondérations révèle ce qui est réellement robuste.
Interprétation
Optimiser signifie choisir parmi plusieurs objectifs incompatibles. Masse, puissance, volume, coût, fiabilité, temps équipage et réparabilité ne possèdent généralement pas un minimum commun.
Ajouter un second appareil de secours augmente masse et puissance installée mais peut réduire le temps d’indisponibilité. Une fonction de mérite simple pourrait pondérer masse, énergie et risque, mais les pondérations sont elles-mêmes une décision.
Un minimum numérique précis n’est pas une vérité physique si les poids, contraintes ou scénarios ont été choisis arbitrairement.
12. Mini-projet : tampon d’eau et marges
Hypothèse : appoint moyen 40 kg/jour, autonomie 30 jours, marge de planification 25 %. Stock nominal = 1 200 kg ; stock avec marge = 1 500 kg. À environ 1 000 kg/m³, cela représente 1,5 m³ d’eau.
Le calcul ne dimensionne pas le réservoir. Structure, volume gazeux, qualité, tuyauterie, fuite et stratégie de remplissage restent à traiter. Les mathématiques ont cadré une exigence ; elles n’ont pas supprimé l’ingénierie.
Projet guidé — dimensionner un tampon sans cacher les hypothèses
Une base veut un tampon cylindrique d’eau capable de couvrir une interruption de production. On suppose 100 personnes, une perte nette de 0,45 kg/personne/jour après recyclage, et 12 jours d’autonomie visés. Le besoin utile vaut 100×0,45×12 = 540 kg, soit environ 0,54 m³ d’eau avec la densité pédagogique de 1 000 kg/m³. Ajouter 30 % de marge opérationnelle donne 702 kg ou 0,702 m³. Le mot « marge » doit rester séparé de l’incertitude sur la perte réelle.
Choisissons un réservoir cylindrique vertical de diamètre intérieur 1,0 m, donc rayon 0,5 m. L’aire de base vaut π×0,5² ≈ 0,785 m². Pour 0,702 m³, la hauteur utile est V/A ≈ 0,894 m. Si l’on réserve 15 % de volume libre au-dessus du liquide, le volume géométrique minimal devient 0,702/0,85 ≈ 0,826 m³, soit une hauteur totale d’environ 1,052 m. La géométrie traduit ainsi une exigence de stock en dimension physique.
Supposons ensuite que la perte nette de 0,45 kg/personne/jour porte une incertitude simplifiée de ±0,08. Le pire cas haut, 0,53, conduit à 636 kg utiles avant marge. Avec 30 %, le stock devient 826,8 kg. Le choix du réservoir précédent n’est plus confortable : 0,826 m³ correspond presque exactement au volume nécessaire avant même le volume libre. Le dimensionnement est donc sensible à l’incertitude de la perte et pas seulement à la précision géométrique du cylindre.
La question mathématique suivante n’est pas automatiquement « augmenter le diamètre ». Un diamètre plus grand réduit la hauteur, mais augmente la surface de certaines parois, l’encombrement au sol et peut modifier la structure. Un cylindre plus haut économise du sol mais crée d’autres contraintes. L’optimisation nécessite des objectifs : masse, volume, accessibilité, stabilité, fabrication, nettoyage. Sans fonction objectif, 'optimal' ne veut rien dire.
Terminez par une courbe de sensibilité : calculez le stock requis pour 0,35 ; 0,45 ; 0,55 ; 0,65 kg/personne/jour. Vous obtenez une droite parce que le modèle est linéaire en perte. Si le système réel introduit un seuil, une saturation ou un rendement qui varie avec le débit, la courbe ne sera plus droite. Ce projet résume l’utilité des mathématiques : transformer une exigence verbale en équations, puis montrer où les hypothèses commandent la décision.
13. Vérification de fin de module
- J’isole une inconnue et vérifie ses unités.
- Je sais quand une proportionnalité devient risquée.
- Je calcule aires, volumes et composantes vectorielles.
- Je lis dérivée comme taux et intégrale comme accumulation.
- Je distingue pire cas et combinaison statistique des incertitudes.
Série d’exercices corrigés — contrôle autonome
1. Un volume double-t-il si le rayon d’un cylindre double ?
Non si la hauteur reste fixe : V=πr²h, donc doubler r multiplie le volume par quatre. Si rayon et hauteur doublent ensemble, le volume est multiplié par huit.
2. Un rover fait 3 km est puis 4 km nord. Déplacement ?
Le déplacement vaut √(3²+4²)=5 km, alors que la distance parcourue vaut 7 km. Les deux grandeurs répondent à des questions différentes.
3. Un débit de 2 kg/h dure 7,5 h. Masse accumulée ?
Pour un débit constant, l’intégrale devient débit×durée : 2×7,5 = 15 kg. Si le débit varie, il faut sommer les intervalles ou intégrer q(t).
4. Une tolérance de ±0,2 mm répétée cinq fois donne-t-elle toujours ±1 mm ?
±1 mm est le pire cas arithmétique si toutes les erreurs s’alignent. Avec erreurs indépendantes et centrées, un modèle quadratique peut être plus petit, mais l’hypothèse d’indépendance doit être justifiée.
5. Que signifie optimiser sans critère ?
Rien de déterminé. Minimiser masse, énergie, coût de maintenance ou risque peut conduire à des solutions différentes. Il faut définir variables, contraintes et fonction objectif avant de parler d’optimum.
Atelier d’entraînement approfondi
Pour ces problèmes, commencez par dessiner la relation mathématique avant de substituer les nombres. Indiquez ce qui est supposé linéaire, ce qui varie avec un carré ou un volume, et ce qui constitue une contrainte plutôt qu’une inconnue. Le corrigé sert surtout à montrer comment choisir le bon modèle et comment tester sa sensibilité, pas seulement à fournir une valeur finale.
1. Isoler une variable
Avec E=P t, isolez P puis calculez la puissance moyenne pour 72 kWh en 9 h.
Correction : P=E/t=72/9=8 kW. Les unités kWh/h se réduisent ici à kW.
2. Cylindre
Réservoir r=1,5 m, L=4 m. Volume ?
Correction : V=πr²L≈π×2,25×4≈28,27 m³. La capacité utile sera inférieure si une fraction du volume doit rester gazeuse.
3. Pente
Quel dénivelé pour 250 m horizontaux à 6° ?
Correction : Δz=250 tan6°≈26,3 m. Si 250 m était la longueur de pente, il faudrait utiliser sin6°.
La tangente s’applique parce que la distance donnée est horizontale. Si le problème avait fourni la longueur suivie sur la pente, le sinus serait la relation pertinente : identifier le triangle fait partie du calcul.
4. Vecteurs
5 km est puis 12 km nord : déplacement et distance ?
Correction : Distance parcourue=17 km ; déplacement=√(25+144)=13 km. Ce sont deux grandeurs différentes.
5. Intégration
Une charge vaut 4 kW pendant 3 h puis 1 kW pendant 9 h.
Correction : E=12+9=21 kWh. L’aire sous P(t) donne l’énergie.
6. Empilement de tolérances
Six interfaces ±0,2 mm : pire cas et RSS indépendant ?
Correction : Pire cas ±1,2 mm ; RSS=0,2√6≈0,490 mm. Le RSS suppose des erreurs indépendantes et centrées.
Le pire cas additionne les tolérances comme si toutes dérivaient dans le même sens ; le RSS suppose au contraire des erreurs indépendantes et centrées. Choisir l’un ou l’autre modèle est une hypothèse d’ingénierie, pas une simple préférence mathématique.
7. Exponentielle
Une capacité conserve 99 % par cycle. Fraction après 50 cycles ?
Correction : 0,99^50≈0,605. Une perte de 1 % répétée n’est pas une simple soustraction de 50 points de pourcentage.
Une perte répétée est multiplicative. Le résultat de 60,5 % après cinquante cycles montre pourquoi une petite dégradation par cycle peut devenir dominante sur la durée et pourquoi il faut vérifier si les cycles sont réellement comparables.
8. Capstone optimisation
Deux architectures : A=1 000 kg, 20 kW, indisponibilité 4 % ; B=1 200 kg, 16 kW, indisponibilité 1 %. Pourquoi une « meilleure » solution n’existe-t-elle pas sans critère ?
Correction : A minimise masse, B puissance et indisponibilité. Il faut définir contraintes et pondérations, par exemple une masse maximale, une puissance disponible et une pénalité de risque. L’optimisation commence donc par expliciter la décision, pas par lancer un solveur.
Aucune architecture n’est 'meilleure' sans contraintes. La masse, la puissance et l’indisponibilité ont des unités différentes ; une décision exige donc des limites éliminatoires ou une méthode de pondération explicitement justifiée.
Problèmes avancés supplémentaires
1. Surface-volume
Si toutes les dimensions d’un module sont multipliées par 2, comment varient surface et volume ?
Correction raisonnée : À forme semblable, surface ×4 et volume ×8. Le rapport surface/volume est donc divisé par 2, ce qui peut modifier pertes thermiques et masse de paroi par volume habitable.
2. Dérivée discrète
Stock 500, 480, 455 kg à t=0,2,4 h. Taux moyens ?
Correction raisonnée : −10 kg/h puis −12,5 kg/h. La perte s’accélère ; une moyenne globale de −11,25 kg/h cache cette tendance.
3. Intégrale débit
Débit 2 kg/h pendant 5 h puis 0,5 kg/h pendant 10 h.
Correction raisonnée : M=10+5=15 kg.
4. Mini-projet vecteur
Un rover doit contourner un obstacle : 4 km est, 3 km nord, 4 km ouest. Déplacement net ?
Correction raisonnée : Le déplacement final est 3 km nord, alors que 11 km ont été parcourus. Pour l’énergie, il faut utiliser le trajet et le profil, pas le déplacement.
Le rover revient à la même abscisse mais pas à son point de départ : le déplacement est un vecteur de 3 km vers le nord. L’énergie de trajet, elle, dépend des 11 km réellement parcourus et des conditions rencontrées.
Sources et références
Les références de ce module servent surtout à stabiliser unités et langage de mesure ; les géométries et jeux de nombres sont des exercices construits pour apprendre la méthode.
- NIST — Definitions of SI Base Units — SI base units and exact defining constants.
- NIST Technical Note 1297 — Measurement Uncertainty — Framework for expressing measurement uncertainty.